簡介：對于“算法”詞給以精確的義不是一件容事，有一些意相近的同義語就是一些其他名詞，它們（時(shí)）會給出差多同樣的東西例如 "法則"" 技巧”“程序”還有“方”等等都是這同義語。也可給出一些例子如長乘法，就小學(xué)生學(xué)的把個(gè)正整數(shù)相乘豎式乘法。然，雖然非形式解釋和恰當(dāng)?shù)?子對于什么是法給出了很好感覺，但算法詞中所深藏的想?yún)s經(jīng)歷了一很長的演化歷，直得到 20 世紀(jì)才得到了令人滿意的形定義，而關(guān)于法的觀念，直如今還在演進(jìn)算盤家和算法回到關(guān)于乘法例子，有一點(diǎn)顯然的：怎樣兩個(gè)數(shù)相乘？示這些數(shù)的方極大地影響了法的具體作法為了弄明白這，試著把兩個(gè)馬數(shù)字 CXLVII 和 XXIX 相乘，但不要先把它譯成等價(jià)的十數(shù)字 147 和 29。這件事既難弄明白明白了以后進(jìn)計(jì)算也極其花間，而這就可解釋何以留存今的羅馬帝國于乘法的材料為零散。記數(shù)可以是 " 累加的 "，如羅馬記數(shù)法：C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示要從 L 中減去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，兩個(gè) I 放在 V 的右方，表示要把它們到 V 上，所以是 7。把所有以上的解釋累加”起來，是羅馬數(shù)學(xué)的 147。記數(shù)制度也可以是進(jìn)的，如我們今所用的那樣。果是進(jìn)位的，以使用一個(gè)或個(gè)基底。在很的時(shí)期中，進(jìn)計(jì)算可以使用種計(jì)算工具 "算盤（abacus）"。這些計(jì)算工具可以示一定基底下進(jìn)位制的數(shù)。如，如果以 10 為基底、則一個(gè)標(biāo)記物可代表 1 個(gè)單位、或者 10?；蛘?100 等等，視它是放在哪一橫行豎列而定。按精確的規(guī)則移這些標(biāo)記物，可以進(jìn)行算術(shù)則運(yùn)算。中國算盤就是 abacus 的一種。到 12 世紀(jì)，阿拉伯學(xué)著作被翻譯拉丁文以后，進(jìn)制就在歐洲行開來了。這進(jìn)位制特別適于算術(shù)運(yùn)算，且引導(dǎo)到許多的計(jì)算方法。些方法就通稱算法（algoritmus），而與在算盤用標(biāo)記物進(jìn)行算相區(qū)別。雖數(shù)字符號，就數(shù)碼，來自印人的實(shí)踐，而來才為阿拉伯所知，現(xiàn)在這數(shù)碼卻叫做阿伯?dāng)?shù)碼．算法algorithm）的字源卻是阿拉伯文思女是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿爾?花拉子的名字的變體花拉子米是現(xiàn)已知的最古老數(shù)學(xué)書的作者這一著作名為 《通過補(bǔ)全和原做計(jì)算的綱》（al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后來就變成了代數(shù)”（algebra）一詞。有限性我們經(jīng)看到“算法一詞在中世紀(jì)指以整數(shù)的十制表示為基礎(chǔ)計(jì)算程序。但到了 17 世紀(jì)，在達(dá)朗貝主編的《百科書》中，算法詞被賦予了更泛的意義，不用于算術(shù)，還于關(guān)于代數(shù)方以及其他的計(jì)程序，諸如 "積分學(xué)的算法"" 正弦的算法 " 等等。算法這個(gè)詞又逐地被用來表示意的具有精確則的系統(tǒng)的計(jì)程序。最后，著計(jì)算機(jī)的作越來越大，有性的重要性被分認(rèn)識到了，本質(zhì)的要求是這個(gè)過程在有時(shí)間以后就會止，而給出結(jié)。所以就得到下面的樸素的義：一個(gè)算法是有限多個(gè)規(guī)的集合，用以數(shù)量有限的數(shù)進(jìn)行操作，而有限多步以后生結(jié)果。注意在這里一直強(qiáng)有限性，在寫算法時(shí)的有限，以及在執(zhí)行法時(shí)的有限性上面的陳述算上是在經(jīng)典意下的數(shù)學(xué)定義我們將會看到把它進(jìn)一步形化是重要的。是我們現(xiàn)在暫也就滿足于這 "定義" 了，而且來看一數(shù)學(xué)中的算法一些經(jīng)典例子三個(gè)歷史上的子算法具有一我們尚未提到特性：迭代，就是簡單程序反復(fù)執(zhí)行。為看清迭代的重性，我們再一來看一下長乘這個(gè)例子，這一個(gè)對任意大的正整數(shù)都適的方法。數(shù)字得越大、程序就越長。但是關(guān)緊要的是，法是“同樣的，如果會把兩三位數(shù)相乘，就會把兩個(gè) 137 位的數(shù)字相乘，而不必去學(xué)什么新的理，理由在于乘法的方法里包含了大量的細(xì)構(gòu)造好的小多的任務(wù)的重執(zhí)行，例如把個(gè)一位數(shù)相乘九九表。我們會看到，迭代我們所要討論算法中起了重作用。歐幾里算法：迭代歐里得算法是說算法本質(zhì)的最也是最常用的子。這個(gè)算法以追溯到公元 3 世紀(jì)。歐幾里得用它來算兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)（gcd）。當(dāng)我們最開始遇到兩正整數(shù) a 和 b 的最大公約數(shù)時(shí)，它是義為一個(gè)正整，而且同為 a 和 b 的因數(shù)。然而，為很多目的，定它為具有以下個(gè)性質(zhì)的唯一整數(shù) d 更好。這兩個(gè)性質(zhì)是：首先，d 是 a 和 b 的一個(gè)因數(shù)；其次，如延 c 是 a 和 b 的另一個(gè)因數(shù)，則 d 可以被 c 所整除。歐幾里得《幾何原本》 VII 的前兩個(gè)命題給出求 d 的方法，其中第一個(gè)題如下："給定了兩個(gè)不相等數(shù)、從較大的數(shù)不斷地減去小的一數(shù)，如余下的數(shù)位，不能量度前數(shù)直到余下的數(shù)一單位為止，時(shí)，原來的數(shù)互質(zhì)。" 換句話說，如果輾相減得到了數(shù) 1，則 gcd 為 1。這時(shí)，就說原來的個(gè)數(shù)互質(zhì)（或為素?cái)?shù)）。輾相減法現(xiàn)在我來一般地描述幾里得算法，是基于以下兩觀察的：（1）如果 a=b，則 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公約數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它也 a-b 和 b 的公約數(shù)?，F(xiàn)在設(shè)要求 a 和 b 的 gcd，而且設(shè) a≥b。如果 a=b，則觀察（1）告訴我們，gcd 就是 b。若不然，觀察（2）告訴我們，如果 a-b 和 b 的 gcd 也會得到同樣的答案?，F(xiàn)在 a_1 是 a-b 和 b 中較大的一個(gè)，而 b_1 則為其中較小一個(gè)，然后再兩數(shù)的 gcd。不過，現(xiàn)在數(shù)中較大的一，即 a_1，小于原來兩數(shù)較大的一個(gè)， a。這樣我們就可以把上冰鑒程序再重復(fù)一：若 a_1=b_1，則 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，就 a_1 換成 a_1-b_1，再來組織 a_1-b_1 和 b_1，總之，較大的個(gè)要放在前面然后再繼續(xù)下，這就叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個(gè)序能夠進(jìn)行下，還有一個(gè)觀是需要的，這是下面的關(guān)于整數(shù)的一個(gè)基事實(shí)，有時(shí)稱良序原理：嚴(yán)下降的正整數(shù)列 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序列。因上面的迭代程恰好產(chǎn)生了一嚴(yán)格下降序列這個(gè)迭代最終定會停止，這意味著在某一上必有 a_k=b_k，而這個(gè)公共值就是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算法的流圖歐幾里得除通常對于歐幾得算法的陳述此稍有不同。以應(yīng)用一種較雜的程序，稱歐幾里得除法也就是帶余除），它可以大減少算法的步，這種算法也為輾轉(zhuǎn)相除法這個(gè)程序的基事實(shí)是：若 a 和 b 是兩個(gè)正整數(shù)，則存在唯一的整 q 和 r，使得數(shù) q 稱為商，而 r 稱為余數(shù)。上的兩點(diǎn)說明（1）和（2）現(xiàn)在要代以若 r=0，則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次在第一步要用b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，則還要做第二步，用（r，r_1）來代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余數(shù)，所以 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良序理，即知這個(gè)序經(jīng)過有限步一定停止，而后一個(gè)非零的數(shù)就是 a 和 b 的 gcd。不難看到，這兩種方法，求 gcd 而言是等價(jià)的，就算法而言則很大區(qū)別。例，設(shè) a=103 438，b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相減法，要從 103 438 中累次減去 37，一直到余下的差小于 37 為止。這個(gè)差數(shù) 103438 除以 37 的余數(shù)是一樣，而如果用第種方法，一次可以得到它。樣，使用第二方法的理由就于用累次減法求除法的余數(shù)非常低效率的效率上的收益實(shí)踐上是很重的，第二種方給出的是多項(xiàng)時(shí)間算法，而一種方法所需則是指數(shù)長的間。推廣歐幾得算法可以推到許多其他背下，只要有加、減法和乘法概念就行。例它有一個(gè)變體可以用于高斯數(shù)環(huán)。就是形 a＋ bi，而其中 a，b 為整數(shù)的復(fù)數(shù)所成的環(huán)，它可以用于系數(shù)實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式中（就此而論系數(shù)在任意域也行）。但有個(gè)要求，就是能夠定義帶余法的類比物，了這一點(diǎn)以后算法就與正整情況的算法基上相同了。例下面的命題： A 和 B 是兩個(gè)任意多式，而且 B 不是零多項(xiàng)式則必存在兩個(gè)項(xiàng)式 Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正如歐幾里得《幾何原本》提到的那樣，可以對于一對（a，b）當(dāng) a 和 b 不一定是整數(shù)時(shí)行這個(gè)程序。易驗(yàn)證，當(dāng)且當(dāng)比 a / b 是有理數(shù)時(shí)，這個(gè)程序會下來。這個(gè)觀引導(dǎo)到連分?jǐn)?shù)概念。在 17 世紀(jì)以前，沒有特別地研究它，但是其中思想根源可以溯到阿基米德阿基米德計(jì)算 π 的方法：逼近和有限性玄鳥長和圓的直徑比值是一個(gè)常，而自從 18 世紀(jì)以來就記作 π?，F(xiàn)在我們來看一看阿米德怎樣在公前 3 世紀(jì)就得到了這個(gè)比的經(jīng)典的近似 22/7。若在圓內(nèi)作一個(gè)接的正多邊形其頂點(diǎn)都在圓上），又作其切的正多邊形其邊都是圓周切線），再計(jì)這些多邊形的長，就會得到 x 的下界與上界，因?yàn)閳A的長必定大于任內(nèi)接多邊形的長，而小于任外切多邊形的長。阿基米德正六邊形開始然后，每次把邊形的邊數(shù)加，得到了越來精確的上下界他做到九十六形為止，得到π 的逼近這個(gè)過程中顯然涉迭代。但是稱為一個(gè)算法對對？嚴(yán)格地說它不是一個(gè)算，不論取多少的多邊形，所到的僅是 π 的近似值，所這個(gè)過程不是限的。然而我確實(shí)得到了一可以近似計(jì)算 π 到任意精確度的算法。例。如果想得到 π 的一個(gè)準(zhǔn)確到小數(shù)十位的似值，經(jīng)過有多步以后，這算法會給出一我們想要的近值。重要的是這個(gè)過程是收的。就是說，要的在于由迭得出之值可以意地接近于 π。這個(gè)方法的何來源可以用證明這個(gè)收斂，而 1609 年德國人作到了 202 邊形（基本上用基米德的方法，得到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。然而，逼近 π 的算法與阿基米德計(jì)算滅蒙正整數(shù)的 gcd 的算法有一個(gè)明顯的區(qū)蛫如歐幾里得那的算法時(shí)常稱離散算法，而用來計(jì)算非整值的數(shù)值算法對立。牛頓-拉夫森方法：遞公式1670 年前后、牛頓出了一個(gè)求方之根的方法，且就方程 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法。他的解從下面的一個(gè)察開始：根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了一個(gè)關(guān)于 p 的方程。這個(gè)新程算出來是因 x 接近于 2，所以 p 很小，而他就去了 p^3 和 6p^2 來估計(jì) p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。這當(dāng)然不是一準(zhǔn)確解，但是給了牛頓關(guān)于的新的更好的似值：x=2.1。然后牛頓就重復(fù)這個(gè)雷神程令 x=2.1＋q，代入原方程以后又給出一個(gè)關(guān)于 q 的方程，近似解這個(gè)方程，把他的近似解確化了，于是到 q 的估計(jì)為-0.0054，所以 x 的下一個(gè)近似是 2.0946。盡管如此，我們怎么能確這個(gè)過程會收于 x 呢？讓我們更仔細(xì)地察這個(gè)方法。線和收斂性牛的方法可以從何上用函數(shù) f 的圖像來解釋，雖然牛頓本并沒有這樣做f（x）=0 的每一個(gè)根 x 都對應(yīng)于函數(shù) y=f（x）的曲線和 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)如果從根 x 的一個(gè)近似值 a 開始，而且和上面做的一，設(shè) p=x- a，于是可以用 a+p 代替 x 而得到一個(gè)新的函數(shù) g（p），也就是說把原點(diǎn)（0，0）有效地移到了（a，0）處。然后把 p 的所有高次冪都略去，只留常數(shù)項(xiàng)和線性，這樣就得到函數(shù) g 的最佳的線性逼近 —— 從幾何上說，這就是 g 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線。這樣，對 p 所得到的近似值就是函 y 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)。再橫坐標(biāo)上加一 a，也就是讓原點(diǎn)回到原來（0，0）處，這樣 a＋p 就給出了 f 的根的新近似。這就是牛頓方法稱為切線的原因。牛頓法從上圖可以到，再作一次線的逼近，如曲線 y=f（x）與 x 軸的交點(diǎn)在 a 點(diǎn)以及 f 在點(diǎn)（a，f（a））處的切線 x 軸的交點(diǎn)（即上圖中的坐標(biāo)為 a+p 的點(diǎn)，即根的近似值）之間則第二次的近值（即 a＋p＋q）肯定比第一次的近似值 a＋p 好（這里稱 a 為根的零次近似）回到牛頓的例，可以看到牛選取 a=2 并不是上面所的情況。但是下一個(gè)近似值 2.1 開始，以下所有的近值就都是這個(gè)況了。從幾何看，如果點(diǎn)（a，f（a））位于 x 軸的上方，而且 y=f（x）的曲線在凸部與 x 軸相交，或者（a，f（a））在 x 軸的下方，而且 y=f（x）曲線在凹部與 x 軸相交，就會現(xiàn)這種有利的況。初始的逼（即零次近似的選擇顯然是重要的，而且出了微妙的未想到的問題。果我們考慮復(fù)項(xiàng)式的復(fù)根，就更加清楚了牛頓的方法很易適應(yīng)這個(gè)更泛的背景。設(shè) z 是一個(gè)復(fù)多項(xiàng)式的復(fù)根， z_0 是初始的逼近，于牛頓方法將給一個(gè)序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收斂于 z，也可能不收斂我們定義根 z 的吸引區(qū)域?yàn)檫@樣的初朱厭逼 z_0 的集合，使得所得的序列確實(shí)收于 z，并且記這個(gè)區(qū)域?yàn)?A（z）。怎樣來決定 A（z）呢？第一個(gè)問個(gè)問題的人是萊，時(shí)間是 1879 年。他注意到，對于次多項(xiàng)式，這問題是很容易，但當(dāng)次數(shù)為 3 或者更大時(shí)，問題就很困了。例如多項(xiàng) z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分別復(fù)平面上以鉛軸為界的兩個(gè)平面，但是 z^3-1 的三個(gè)根 1，w，w^2 的相應(yīng)的吸引區(qū)域就極復(fù)雜的集合這些集合是由利亞在 1918 年描述的，而現(xiàn)在稱為分集合。遞推公牛頓方法的每階段都會產(chǎn)生個(gè)新方程。但拉夫森指出實(shí)上并無必要。就特殊的例子出在每一步都以使用的單一個(gè)公式。但是的基本的觀察以一般地適用導(dǎo)出可以用于一個(gè)情況的一公式，而這個(gè)式用切線的解就可以容易得。事實(shí)上，曲 y=f（x）在 x 坐標(biāo)為 a 處的切線方程是它與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 a-f（a）/f'（a）。我們現(xiàn)在所說的牛頓-拉夫森方法就是的這個(gè)公式。們從一個(gè)初始近 a_0=a 開始再用這個(gè)遞推公式得出樣就得到一個(gè)近的序列，在情況下，也就前面說的 z_0，z_1，z_2，…。作為一個(gè)例子，考函數(shù) f（x）=x^2-c。這時(shí)，牛頓方就給出 c 的平方根根號 c 的一串近似值，遞推公式于兒成了在上面的般公式中把 f 換成 x^2-c 即得。這個(gè)近似平方根求法，公元 1 世紀(jì)的亞歷山大里亞的海倫已經(jīng)知道。本來自微信公眾：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是?
